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高中数理化

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2026年01期

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高考全关注 | 高考数列命题趋势及备考策略探究

高考全关注 | 高考数列命题趋势及备考策略探究

数列是特殊的函数，在对其研究过程中，蕴含着分类讨论、函数方程、化归与转化、数形结合等思想方法，能有效培养学生运算求解、逻辑推理、数学建模等综合能力.本文从高考数列模块的命题趋势、考题类型、备考要点等几个方面展开探究. 1命题趋势从近年高考全国卷及独立命题省市的高考试卷来看，以考查基础知识及应用为主，如等差、等比数列的概念、性质，求数列的通项公式、前 n 项和，以及与其相关的拓展问题.命题注重
高考全关注 | 两类函数在高考中的应用

高考全关注 | 两类函数在高考中的应用

函数作为高中数学的核心内容之一，不仅承载着对数学逻辑思维的培养，也是连接代数、几何等模块的重要纽带.函数的图像与性质是破解函数相关问题的金钥匙，所以函数的图像与性质是高考的高频考点.本文归纳两类函数的图像与性质，并展示其在高考中的应用，供读者参考. 1 两类函数的图像与性质 1.1 ，且 a≠1 ）的图像与性质对于函数y=logaλ+ux λ+ux，可知y=logaλ+ux λ-ux
聚焦新课程 | 对教材中一道课后习题的探究

聚焦新课程 | 对教材中一道课后习题的探究

高中数学比较大小的常用方法是作差法、作商法、中间量法等；对于结构特征明显的某些比较大小问题，也可采用构造函数法.作差法要求将代数式变形为能判断差值正负的结构，并根据实数的性质比较大小；作商法要求将代数式变形为能与1进行大小比较的结构；中间量的寻找需要依据具体问题而定，学生需具备对数字的敏锐感知能力，并不断积累解题经验；构造函数法则要求学生能构造符合题意条件的函数，并利用所构造的函数的单调性来比较大
聚焦新课程 | 跨越千年的赵爽弦图，数形结合的东方智慧

聚焦新课程 | 跨越千年的赵爽弦图，数形结合的东方智慧

赵爽弦图作为中国古代数学数形结合思想的典范，它不仅为勾股定理提供了简洁直观的证明，更蕴含着解决代数不等式问题的深层逻辑.本文以赵爽弦图的几何构造为切入点，系统梳理其证明重要不等式的核心路径，分析其在基本不等式、均值不等式链、三角恒等式的证明中的应用及延伸， 1教材呈现人教A版普通高中教科书数学必修第一册第39页，探究部分介绍了第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设
强基竞赛 | 关于2024年兰州大学数学强基计划试题第6题的探究

强基竞赛 | 关于2024年兰州大学数学强基计划试题第6题的探究

1试题呈现及分析题目比较大小： (e+1)e+2 ， (e+2Θ)e+1 ， (cos 1) sin1, (sin1)cos1 该问题涉及指数函数、三角函数的性质及不等式证明等多个数学知识点，需要综合运用数学知识分析数的结构特征，对逻辑推理和数学运算能力要求较高， 2 两种经典解法解法1 （构造函数，利用单调性比较)构造函数，则 1-lnx,令f'(x）=0,得x=e. 当 x∈(
强基竞赛 | 对不等式放缩的一点理性思考

强基竞赛 | 对不等式放缩的一点理性思考

不等式是中学数学强基和竞赛的热门考点.放缩法是不等式证明的重要方法之一，但很多放缩法对于大部分学生来说是一头雾水，即使学生能够看懂解答过程，也不知道是如何想到的，再碰到类似的问题仍然无从下手.本文以一道北京大学中学生体验营的题目为例，谈谈看似偶然的放缩背后的逻辑必然性. 1放缩想法分析例如，要证明 aP 时，应满足以下两个条件：1） p 不能太大，否则可能会有 b<P ，此时 p 不能
强基竞赛 | 示性函数在集合问题中的巧妙应用

强基竞赛 | 示性函数在集合问题中的巧妙应用

集合论作为现代数学的基石，其思想与方法渗透于数学的各个分支，同时也是中学数学竞赛中不可或缺的重要组成部分.示性函数，又称特征函数，为解决集合问题提供了一种强有力的工具.它将集合与函数这两个核心数学概念紧密地联系起来，通过将集合的“属于"关系转化为函数的“取值"问题，为集合问题开启了一扇代数化的大门.这种转化不仅表述简洁，更关键的是，它使得集合的交、并、补等运算可以转化为函数间的代数运算，从而能够借
题根研究 | “1"的代换在基本不等式中应用的变式探究

题根研究 | “1"的代换在基本不等式中应用的变式探究

基本不等式的应用一直是高考的重要考点，主要考查应用基本不等式求最值.因此，对于考生而言，掌握基本题型，把握解题规律显得尤为重要.本文采擷一道经典问题进行多角度变式，探究“1"的代换在基本不等式求最值中的应用，希望对读者有所启发. 例题已知 x>0，y>0 ，且 x+y=1 ，则的最小值为分析本题如果两次使用基本不等式，会出现等号不能同时成立的困境，于是结合条件等式，进行
题根研究 | 建构向量模型巧解一类根式函数的值域

题根研究 | 建构向量模型巧解一类根式函数的值域

本文旨在探讨一种构造向量模型的几何方法，将抽象的代数式赋予直观的几何意义，从而化繁为简，快速求解一类根式函数的值域.这种数形结合的思路，不仅能帮助学生快速解题，更能深化其对向量、几何与函数之间内在联系的认识，提升数学核心素养. 1典型试题研究引例求函数的值域. 0 构造向量 u=（1 ，解析），则 f（x）=u⋅ν，ν= 的几何含义是其终点轨迹（起点为原点O ，下同）为单位圆的
考题分类评析 | 非线性递推数列求通项的处理方略

考题分类评析 | 非线性递推数列求通项的处理方略

由递推关系求数列的通项公式，是数列问题的常考题型.针对不同的递推类型，构造的切入点也不尽相同.若是线性递推关系，可采用累加、累乘、待定系数法等求解.对于非线性递推关系求通项问题，需要结合题目条件，选择相应的处理方法.本文对此进行探究. 1核心思想等差与等比数列是两种特殊数列，涉及数列的通项公式、求和公式、等差中项、等比中项以及特殊的函数性质.无论是线性递推关系，还是非线性递推关系求数列的通项
考题分类评析 | 探究分段函数的性质

考题分类评析 | 探究分段函数的性质

分段函数在不同的区间内有不同的解析式，较单一函数更为灵活，能有效考查数形结合、分类讨论、化归与转化、函数方程等数学思想的应用，是高考命题的重难点.在处理分段函数的性质问题时，应综合分段点两侧函数的性质，将其合二为一.下面从一题多变的角度就分段函数的考查视角及处理策略进行分析. 例1已知函数（1）若 f（a2-2a）>f（3），求 a 的取值范围；（2）若 f（x）⩾a 恒成立，
考题分类评析 | 双变量函数不等式处理策略

考题分类评析 | 双变量函数不等式处理策略

双变量函数不等式的命题背景通常有两种情况：一种是两个变量属于不同的函数，针对两个变量是任意，还是存在，分别求两个函数的最值；另外一种是两个变量属于同一个函数.本文针对第二类双变量函数不等式恒成立问题，从以下几个方向探究其处理策略. 1 把握核心思想处理双变量函数不等式问题的核心思想是消元，将双变量问题转化成单变量问题.转化的方法是寻找两个变量的关系，将其中一个变量用另一个变量表示，或将两个变
考题分类评析 | 一元二次不等式整数解个数求参问题策略梳理

考题分类评析 | 一元二次不等式整数解个数求参问题策略梳理

一元二次不等式整数解个数求参问题，综合考查函数图像、方程根的分布以及数形结合、分类讨论等数学思想，是高中数学中的重难点.本文系统梳理此类问题的四种解题策略一一根的范围锁定法、对称轴性质分析法、函数值符号判定法、分离函数与数形结合法，旨在帮助学生构建清晰的解题思路，提升解题能力与思维水平. 1根的范围锁定法这是最直接、最常用的方法，当对应的一元二次方程易于求根时，通过确定解集区间，并利用区间内
考题分类评析 | 以三角函数为背景的导数应用问题探究

考题分类评析 | 以三角函数为背景的导数应用问题探究

三角函数与指数、对数或幂函数综合的导数应用问题，因综合性强、性质灵活，对考生的思维能力要求较高，成为近年高考命题的难点题型.本文从此类问题的难点所在、策略总结、典例分析这几个角度进行探究，以期对读者的复习有所帮助. 1难点所在 1）三角函数求导后仍为三角函数，其与指数、对数、幂函数综合后正负情况不易判断、零点不易求解， 2）三角函数的有界性、周期性，增大了函数的零点、极值点探求难度. 3）参数的
重点辅导 | 隐藏在教材中的柯西不等式

重点辅导 | 隐藏在教材中的柯西不等式

在新高考背景下，“柯西不等式”的字样在新教材中已经消失，但是其内容隐藏在平面向量及其应用中. 1 呈现隐蔽题目用向量方法证明：对于任意的 a,b,c,d∈ R，恒有不等式 (ac+bd)2⩽(a2+b2)(c2+d2) 该题源于人教A版普通高中教科书数学必修第二册第37页的练习题拓广探索中的第16题，是对二维柯西不等式的证明. 柯西不等式为什么要安排在此处？究其原因，是由于柯西不等式可以通
重点辅导 | 基于“共起点，微小量”思想比较大小问题解法探究

重点辅导 | 基于“共起点，微小量”思想比较大小问题解法探究

比较大小是高中数学中的经典问题，通常考查学生对函数性质、不等式与导数工具的掌握程度.然而，有一类比较大小的题型，待比较的三个数值极其接近，传统作差、作商、函数单调性等方法难以直接奏效，此类问题可称为数值逼近比较大小问题，其难点在于数值近似，本质是对函数局部变化趋势的深度分析.从高等数学视角看，可用泰勒展开进行近似估计，但对高中生而言，需要一种在现有知识框架内可理解、可操作的方法.本文提出“共起点，
难点挑战 | 指数函数与其反函数图像交点问题探究

难点挑战 | 指数函数与其反函数图像交点问题探究

指数函数 y=ax （（a>0）且 a≠1 ）与对数函数 y= logax 互为反函数，因此其图像关于直线 y=x 对称.若这两个函数图像存在交点，则必定有一个交点位于直线 y=x 上.然而，将指数函数与对数函数图像的交点问题简化为指数函数 y=ax 与直线 y=x 的交点问题，并不可靠.本文从函数图像、方程同构、极值分析等多个角度，深入探讨了交点存在的条件及其个数，揭示了参数 a 的取
难点挑战 | 洞察函数性质，破解疑难问题

难点挑战 | 洞察函数性质，破解疑难问题

面对形式复杂的函数问题，学生常因盲目计算而陷入困境.基于此，本文结合典型例题，系统性地阐述了如何利用函数的奇偶性、对称性进行高效转化与求解.掌握这一“先整体分析，后定向转化”的思维路径，不仅能有效简化一类复杂函数问题，更有助于学生深刻理解化归与转化思想，提升数学抽象与逻辑推理能力，从而实现从“机械运算"到“思维建构"的跃升. 1典例分析例1已知函数，则关于 x 的不等式f(2x+3)+f
难点挑战 | “倒反函数”在高中数学解题中的应用

难点挑战 | “倒反函数”在高中数学解题中的应用

奇偶性是函数的重要性质，而“倒反函数”具有与奇偶性类似的隐藏性质，其根源可追溯至人教A版普通高中教科书数学必修第一册第100页第3题（设，求证： -f（x）（x≠0））.这一习题揭示了“自变量为倒数时函数值互为相反数"的核心特征. 1“倒反函数"的定义与常见类型 “倒反函数”的严格定义：设函数 f（x）的定义域为），若对任意 x∈D ，均有，且，则称 f（x）为“倒反函数”
方法与技巧 | 抓住关键，选择合理路径解决双变量问题

方法与技巧 | 抓住关键，选择合理路径解决双变量问题

导数是高考重点考查的内容，其中双变量问题时常作为压轴题出现在高考试题中，考查学生的高阶思维能力.学生解决这类问题常常感到比较棘手，究其原因，其一是变量多，把握比较困难;其二是题目中的条件和要解决的问题不同，使得解决问题的方法各异.因此，如果没有搞清问题的本质，就不能合理转化问题，从而无法选择恰当的方法解决问题.本文采用分类解析的方法，旨在探讨如何分析问题并采用合适的策略解决问题. 1 已知两个函
方法与技巧 | 利用导数研究函数与切线问题的多种视角

方法与技巧 | 利用导数研究函数与切线问题的多种视角

近年来北京高考导数题常考查函数与切线相结合的问题，这类问题综合性强，考查方向具有多样性，在解题过程中需要综合运用多种数学思想和方法，将抽象问题具体化.本文对一道典型例题的求解过程进行剖析，供读者参考. 1 例题呈现例1已知函数 f（x）=（x-2）eax+b ，曲线 y= f（x）在（0，f（0））处的切线方程为 y=-3x-3 （1）求 aλ，b 的值. （2）（i）求证： f（
方法与技巧 | 换元法在求解多元最值问题中的应用

方法与技巧 | 换元法在求解多元最值问题中的应用

换元法是代数运算过程中一种重要的简化运算方法，通过引入一个或几个新的变量代替原来的某些变量，求出结果后再求原变量.“和差代换”“积商代换"和“均值代换”是常用的几种特殊代换方法.利用这几种特殊的代换，求解多元一次条件式和含有交叉项的二元二次条件式最值问题，常可达到化难为易、化繁为简的目的. 1多元一次条件式的最值问题 1.1 利用“均值代换"构造函数求最值例1 已知正数 aλ，bλ ，且
方法与技巧 | 常用“五策略”求恒成立中参数的取值范围

方法与技巧 | 常用“五策略”求恒成立中参数的取值范围

不等式恒成立求参数这一知识点是高频考查的重点.学生往往因缺乏转化与化归的思路，导致在解答这类问题时受阻.下面，笔者以一道模拟试题为例，从多个视角出发，提供解决这类问题的策略，供读者参考. 题目已知函数 f（x）=x2 ，对任意实数 Ψt ，gt（x）=-tx+1. 若 f（x）<∣mg2（x）∣ 对任意 x∈ 0：恒成立，求实数 Ψm 的取值范围. 解法1（全分参）由题意可得 g2（
方法与技巧 | 代数不等式的证明综述

方法与技巧 | 代数不等式的证明综述

代数不等式的证明，即证明一个代数式大于、小于或等于另一个代数式或常数.代数式中通常含有两个或三个变量，不等式的结构主要包括整式、分式或根式等.此类问题是考查考生推理论证能力以及化归与转化能力的有效载体. 1通法总结代数不等式的证明方法较多，但总的来说可归结为以下四种. 1）分析法，从所证的结论入手，寻找不等式成立的条件，即欲证…，需证…，而最后一步需证的结论一定成立，故欲证的结论成立，即执
方法与技巧 | 构造函数，借助导数巧解题

方法与技巧 | 构造函数，借助导数巧解题

若题设中涉及与导数相关的不等式，或给出“双变量"不等式恒成立，通常通过构造函数（有时需进行适当变形，以明确构造函数的方法），借助导数知识巧妙求解.本文结合例题进行归类解析，阐述这类问题的解题思路. 1 利用构造函数例1 已知函数 f（x）（x∈R）满足 f（1）=1 ，且则不等式的解集为O 不等式即为解析，从而可构造函数由，得，所以函数g（x）在上单调递
方法与技巧 | 探析求解函数零点相关问题的方法

方法与技巧 | 探析求解函数零点相关问题的方法

函数零点问题是高考的命题热点.求解函数零点问题，可从以下三个方面探寻思路：一是着眼于函数零点存在定理的应用，二是将函数零点问题转化为方程问题，三是将函数零点问题转化为两个函数图像的交点问题.本文举例探析这三种解题思路. 1从函数零点存在定理角度考虑零点函数零点存在定理是判断函数是否存在零点的理论依据，用该定理解题时，首先要看函数图像在区间上是否连续，然后分析区间端点函数值的正负.注意：函数在一
方法与技巧 | 借助“齐次化"变形巧解题

方法与技巧 | 借助“齐次化"变形巧解题

“齐次化"变形是指将分式分子、分母中的各个加项均代数变形为“齐次式”，从而便于对目标问题进行分析和求解.本文借助一些实例阐述“齐次化”变形在解题中的应用. 1借助“齐次化"变形，巧证不等式例1已知 a>0,b>0,c>0 ，且，求证：由题意得 2abc=1. 因为 a>0,b>0,c>0 ，故当且仅当 a=b=c 时，等号成立，所以本题的“齐次化”变形体现在将待证式子左边分母
方法与技巧 | 构造比大小无招胜有招

方法与技巧 | 构造比大小无招胜有招

比大小试题近年来备受命题者青睐，频繁出现在联考及高考试题中，且难度不一、方法无常（没有固定的“套路”），可谓“无招”.然而，如果采取构造的方法解决此类试题，那么问题可能会迎刃而解，具体表现为构造中间值、构造不等式、构造函数等方法.这些方法有时“单打独斗”，有时“联合作战”，同一道试题可能采取不同方法.掌握了构造法的策略，便可“无招胜有招”.
方法与技巧 | 数列不等式的常见放缩技巧研究

方法与技巧 | 数列不等式的常见放缩技巧研究

数列不等式是考试命题的焦点，同时也是部分考生公认的难点.解决数列不等式的基本思路在于合理放缩，通过放缩后进行运算，以达到解决问题的目的.那么，数列不等式的常见放缩技巧有哪些呢？本文通过具体例子进行详细说明， 1 裂项放缩裂项放缩法类似于数列求和中的裂项相消法，常用于处理数列通项涉及积式、分式、根式、二次式等结构的求和问题，其基本思路是通过放缩将数列转化为差形结构，即形如 f(n)-f(n-1
数学建模与实践 | 汉字情境下的语义饱和现象研究

数学建模与实践 | 汉字情境下的语义饱和现象研究

摘要开展了广泛的调查实验，具体设置了性别、学历、字形等多组自变量，以测试者出现生疏感时的写字数量作为核心因变量进行系统统计.后续运用专业统计分析方法，一方面将收集到的数据按不同变量组合开展分组对比分析，另一方面针对各变量间的关联关系进行独立性检验.研究得出可靠的分析结果，以及关于汉字情境下语义饱和现象影响因素的初步结论，并结合现有研究局限提出了后续可深入拓展的研究方向.
教与学 | 精准教学培养意识提升运算素养

教与学 | 精准教学培养意识提升运算素养

1数学运算素养的地位与教学误区《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》在第二章学科核心素养与课程目标中指出，数学学科核心素养是数学课程目标的集中表现，是具有数学基本特征的思维品质、关键能力以及情感、态度与价值观的综合体现，是在数学学习和应用的过程中逐步形成和发展的.数学学科核心素养包括：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析.这些数学学科核心素养既相对独立、又

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