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高中数理化

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2025年21期

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名师工作室 | 关注算理，优化运算

名师工作室 | 关注算理，优化运算

圆锥曲线的弦长问题形式多样、内容丰富，是高考考查的重点内容.掌握弦长问题的求解方法，对于学生感悟坐标法思想，发展数学运算、逻辑推理、直观想象等学科核心素养有着重要的作用 1 理解弦长公式设斜率为 k 0 （k≠0 ）的直线与圆锥曲线相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则弦长公式从代数角度来看， A，B 两点在直线上任何位置时，公式都成立；从几何角度看，设直线的倾斜角为 α
高考全关注 | 2025年高考数学北京卷解析几何问题的解题策略分析

高考全关注 | 2025年高考数学北京卷解析几何问题的解题策略分析

2025年高考数学北京卷中的解析几何试题不落俗套，具有创新性.很多学生都反映题目难度较大，但是拿到试题之后细细分析，又发现题目其实依然在考查基础知识与基本方法，需要学生理解数学学科的本质.本文以其中的解析几何题的分析为着手点，探讨这类解析几何问题的解题策略. 1概念掌握是解题之基题目（2025年北京卷19）已知椭圆E：的离心率为，椭圆 E 上的点到两但是有一部分学生在这一
题根研究 | 一道高考题的解答、拓展与溯源

题根研究 | 一道高考题的解答、拓展与溯源

2025年数学新高考I卷第10题重点考查抛物线与直线的位置关系和度量关系.试题立足基础性和综合性，考查知识的灵活应用与数形结合思想，有助于正向积极引导教学，增强“以考促学”的主动意识.本文通过试题剖析、拓展探究、追根溯源，旨在达到“解一题，懂一法，会一类，通一片”的效果. 题目 (多选题)已知抛物线 C:y2=6x 的焦点为 F ，过 F 的一条直线交 C 于 A,B 两点，过 A 作直线的
题根研究 | 一道与双曲线的渐近线有关的离心率问题的探究

题根研究 | 一道与双曲线的渐近线有关的离心率问题的探究

在高中数学解析几何的知识网络中，双曲线的渐近线常与直线方程综合考查.这类问题不仅要求学生熟练掌握双曲线的基本性质（如渐近线方程、离心率公式)，更需要学生灵活运用代数方法解决几何位置关系问题.本文以一道模拟题为例，从多角度探究其解法及变式训练，系统解析其解题策略与本质规律. 1 试题解析题目已知直线 l1:y=x+t 与双曲线 c 的两条渐近线分别相交于 A,B 两点，若线段 AB 的中点
题根研究 | 2025年高考数学天津卷第18题的求解与一般化推广

题根研究 | 2025年高考数学天津卷第18题的求解与一般化推广

椭圆是解析几何中的重要曲线，其几何性质在高考中频繁出现.2025年高考数学天津卷第18题以椭圆为背景，考查了焦点、切线及角平分线的关系.本文先给出该题的具体解法，然后在具体问题的基础上进行深入拓展，提出3个层次递进的猜想，并将结论推广到一般椭圆情形，通过严格的数学证明验证推广结论的正确性.通过推广研究，有助于培养学生发现问题、分析问题和解决问题的能力，提升学生的数学核心素养. 1 试题及解析
考题分类评析 | 探究椭圆与双曲线共焦点求离心率相关问题

考题分类评析 | 探究椭圆与双曲线共焦点求离心率相关问题

在圆锥曲线问题中，有一类椭圆与双曲线共焦点的问题比较特殊，此类题的解决不但要考虑椭圆的定义与性质，还要考虑双曲线的定义与性质，综合性较强，对学生思维能力要求较高.其中与两条曲线的离心率相关的组合题更具特色，本文剖析此类问题的求解策略，供参考. 1求值问题例1 已知椭圆 C1 （与双曲线 C2 有相同的左、右焦点 F1，F2 ，设 C1 与 C2 的离心率分别是 e1，e2 ，点P 是
考题分类评析 | 阿波罗尼斯圆应用举例

考题分类评析 | 阿波罗尼斯圆应用举例

阿波罗尼斯圆（也称为“隐圆”频繁出现在近几年的解析几何试题中，该类试题聚焦了轨迹方程、最值、定点、面积等解析几何的核心问题，难度属于中高档.鉴于“隐圆"具有隐蔽性，学生难以发现它，遇到它时不知所措，特别是它与其他知识点交会时学生更是一筹莫展，所以此类试题得分率往往很低.其实，阿波罗尼斯圆在教材中出现过(见引例1和引例2). 引例1（人教A版普通高中教科书数学选择性必修第一册第89页第9题）已知动
考题分类评析 | 根据两点间的距离公式巧解题

考题分类评析 | 根据两点间的距离公式巧解题

在平面内，设点，则，这就是平面内两点间的距离公式.一般地，可表示平面内 A（x1，y1），B（x2，y2）两点间的距离.对两边同时平方得∣AB∣2=（x2-x1）2+（y2-y1）2 .因此，（x2-x1）2+ （y2-y1）2 可表示平面内 A（x1，y1），B（x2，y2）两点间距离的平方.在具体问题中，若能灵活运用和（x2-x1）2+（y2-y1）2 的几何意义加以分
考题分类评析 | 揭秘圆锥曲线中的定值问题

考题分类评析 | 揭秘圆锥曲线中的定值问题

圆锥曲线的定值问题是指在圆锥曲线的某些几何或代数性质中，存在不依赖于特定点或参数的固定值.这些定值不仅揭示了圆锥曲线的内在规律，还为解决复杂的几何问题提供了重要的工具和方法.这些定值在几何证明、轨迹方程求解以及实际问题中有着广泛的应用.本文结合例题探究圆锥曲线中的各类定值问题. 1某些几何量为定值在圆锥曲线中，某些几何量在特定条件下保持不变，这种定值现象蕴含着深刻的数学规律.下面通过经典实例
考题分类评析 | 椭圆中的直线经过定点问题探究

考题分类评析 | 椭圆中的直线经过定点问题探究

解析几何里的“动中有定”与“定中有动”，不仅蕴含着哲学中动与静的辩证思想，还展现出数学的和谐之美.椭圆中的直线过定点问题亦是如此，这类问题既能提升学生在数学运算和逻辑推理等方面的核心素养，又能让学生体会到直线与椭圆位置关系中所存在的内在和谐之美.椭圆中的直线过定点问题主要包括哪些题型，又该如何解决呢？本文举例进行说明. 1 已知定点坐标例1已知椭圆 C 的右顶点为 M（2，0），离心率为
考题分类评析 | 圆锥曲线中的定点、定值问题

考题分类评析 | 圆锥曲线中的定点、定值问题

圆锥曲线中的定点、定值问题是高考数学中的重点内容，从近几年的高考命题趋势来看，此类问题考查频率较高、综合性强、难度较大.这类问题不仅要求学生熟练掌握圆锥曲线的基本性质，还需要综合运用代数运算、几何分析等多种方法，对学生的逻辑思维能力和计算能力提出了较高要求.因此，系统研究定点、定值问题的解题思路与方法，不仅有助于学生应对高考，更能提升其数学综合素养.本文结合典型例题，深人探讨定点、定值问题的解题策
重点辅导 | 例谈圆锥曲线的定义在解题中的应用

重点辅导 | 例谈圆锥曲线的定义在解题中的应用

数学中的性质或定理往往源于相关定义，运用定义探究数学问题能抓住问题的本质，从而达到快速解决问题的目的.圆锥曲线的定义更是如此，运用圆锥曲线的定义有时能快速求解圆锥曲线相关问题.本文通过几道例题展示圆锥曲线的定义在解题中的应用， 1 椭圆定义的应用例1 已知定点均在椭圆的内部， M 是该椭圆上的动点，则∣MA∣+∣MB∣ 的最大值为如图1所示，易知点 A 是椭圆的右焦点，则椭圆的
重点辅导 | 化“隐”为“显” 慧眼“破局”

重点辅导 | 化“隐”为“显” 慧眼“破局”

定点、定值和轨迹问题是解析几何考试中较为常见的题型.为增加试题的区分度，命题者命题时会有意识地将问题中的定点、定值或轨迹隐藏.在解答这类问题时，如果考生发现不了这些隐藏的定点、定值和轨迹，往往会导致思维受阻.如果学生能够参透命题人的意图，先找出问题中隐藏的定点、定值或轨迹，则能化“隐”为“显”，慧眼“破局” 1 隐藏定点例1已知椭圆 c 的左、右顶点分别为 A，B ，若 M 为 C 上异于
重点辅导 | 聚焦圆的方程核心考点

重点辅导 | 聚焦圆的方程核心考点

圆是圆锥曲线中较为简单的一种，具有独特的性质，其方程是高中数学的核心考点，也是高考的重点考查内容.近年来，新高考频繁考查圆的方程及相关性质，尤其侧重考查基础知识.这类题型对学生分析和解决问题的能力提出了较高要求，下面举例剖析圆的相关热点题型，希望能为同学们提供一些启发. 1 圆的方程问题例1已知一个圆过点 A（4，2），B（-1，3），它与x 轴的交点为（x1，0），（x2，0），与
重点辅导 | 平面几何知识在解析几何题中的应用

重点辅导 | 平面几何知识在解析几何题中的应用

把握平面图形的几何特性，进而借助平面几何知识解决相关解析几何问题，有时能够显著降低计算量，使解题过程更为便捷、高效.基于此，本文结合实例探讨平面几何知识在解析几何题中的应用，供参考. 1角平分线的性质在解析几何中的应用例1已知双曲线 c 的左、右焦点分别为 F1,F2 ，过点 F1 作倾斜角为 30∘ 的直线 ξl 与 C 的左、右两支分别交于点 P,Q ，若，求 C 的离心率.，由题意
重点辅导 | 圆锥曲线中直线位置关系的寻找及应用

重点辅导 | 圆锥曲线中直线位置关系的寻找及应用

“直线与圆锥曲线综合”是高考考查解析几何模块的重点内容，命题中涉及的直线通常不止一条，而这些直线之间往往存在某种关系.在解题时，如果能够挖掘出这种关系，可使解题事半功倍.下面以直线之间几种常见关系的应用举例说明. 1平行关系解析几何中直线的平行关系，除了在平行四边形、菱形等特殊的图形中存在，往往还隐藏在其他条件中.例如，若同底的两个三角形面积相等，则两个顶点所在直线与底边所在直线平行.根据平
重点辅导 | 以“四心”为载体的圆锥曲线问题分类探究

重点辅导 | 以“四心”为载体的圆锥曲线问题分类探究

三角形的“四心"分别指重心、外心、内心和垂心.以“四心"为载体的圆锥曲线问题，不仅搭建了解析几何与平面几何之间内在联系的桥梁，还提升了题目的综合性.本文分类探究以“四心"为载体的圆锥曲线问题 1重心例1 如图1所示， F1，F2 为椭圆 E 的左、右焦点.点 Q 满足：延长 QF1，QF2 分别交椭圆 E 于 M，N 两点，且△QMN的重心 P 在椭圆 E 上，直线F1P 交QN于点 s
难点挑战 | 齐次化法在圆锥曲线多直线斜率问题中的应用

难点挑战 | 齐次化法在圆锥曲线多直线斜率问题中的应用

直线与圆锥曲线的位置关系是解析几何的重要研究对象，特别是过圆锥曲线上某一定点的两条直线斜率相关的定值、定点问题，这类涉及双直线的斜率问题是高考的热门考点，往往需要较强的思维能力与运算能力，也是学生学习的难点.而齐次化法是解决此类双直线斜率问题的常用方法，其运算量较小.此外，齐次化法并不仅限于有公共交点的双直线斜率问题，它还可以推广至有公共交点的多直线情形，即通过构造特定的齐次式，可以解决涉及圆与圆
难点挑战 | 例析椭圆第三定义的典型应用

难点挑战 | 例析椭圆第三定义的典型应用

椭圆的第三定义是椭圆定义形式的重要补充，可以帮助学生更好地理解椭圆的几何本质，丰富了椭圆问题的命题视角，以及问题的处理思路.在某些椭圆问题的求解中，灵活应用椭圆的第三定义，可获得高效简捷的解题途径. 1 知识储备椭圆的第三定义：设 A（-α，0），B（a，0）（a>0）若动点 P 满足，则点 P 的轨迹方程为 .据此，若 A，B 为椭圆的两个顶点， P 为椭圆上不重合于 A，
难点挑战 | 亦探圆锥曲线中的“定”问题

难点挑战 | 亦探圆锥曲线中的“定”问题

圆锥曲线中的定点、定直线、定曲线、定值问题是解析几何中的重要知识点，这类问题涉及圆锥曲线中的点、直线、曲线之间的关系.在解决这类问题时，只有将函数与方程、平面向量、不等式等其他知识结合应用，才能灵活解决. 1直线过定点问题若要证明直线过定点问题，一般可利用直线的点斜式方程 y-y1=k(x-x1) 或斜截式方程 y=kx+Ω Σm 来证明.当利用斜截式方程 y=kx+m 时，需要找到 k 和
难点挑战 | 圆锥曲线与立体几何综合考查的创新视角

难点挑战 | 圆锥曲线与立体几何综合考查的创新视角

在高中数学知识架构中，圆锥曲线与立体几何分属不同知识板块，各自有着独特的研究对象与方法近年来，二者融合的综合题频繁现身于各类模拟考题中，成为高考数学命题的新热点.本文以一道模拟题为例，剖析抛物线翻折空间角问题，挖掘命题根源，梳理解题思路，同时将其拓展至椭圆、双曲线翻折形成的类似问题中，为高中数学教与学提供有益参考，助力学生提升综合运用知识的能力. 1题目呈现例1如图1所示，已知抛物线 C：y
难点挑战 | 借圆发挥

难点挑战 | 借圆发挥

圆是平面上完美的图形，在中国古代名著《墨经》中墨子给出了圆的经典定义：“圆，一中同长也.”圆是高中数学教学和高考考查的重要内容，对于一些看似与圆无关的数学综合问题，如果能巧妙地构造圆，运用圆的定义、性质、方程(圆的一般方程、标准方程、参数方程)等作为求解和证明的桥梁，可以使其解答过程变得简捷，显示出用圆解题的独特魅力，有利于培养学生解题的灵活性和创新性，提升学生的直观想象、数学运算、数学抽象、
方法与技巧 | 圆锥曲线定点、定值问题中非对称结构的求解路径

方法与技巧 | 圆锥曲线定点、定值问题中非对称结构的求解路径

在求解直线与圆锥曲线相交问题时，学生习惯将直线方程与曲线方程联立，运用根与系数的关系整体代换，此解法适用于表达式为对称结构的问题.但在遇到表达式为非对称结构问题时，由于目标式子不对称（如y=- 就无法直接运用根与系数的关系整体代换，很多学生对此无从下手.基于此，笔者以一道圆锥曲线解答题为例，展示这类问题的求解路径， 1定点问题中非对称结构呈现例1已知椭圆 E ，以 E 的两个焦点与短轴的
方法与技巧 | 几何法在圆锥曲线备考中的应用

方法与技巧 | 几何法在圆锥曲线备考中的应用

几何法指的是借助几何图形的直观性解决问题的思想和方法.本文结合实例，从圆锥曲线的定义、几何性质、焦半径等方面阐述几何法在圆锥曲线备考中的应用，展示几何法在简化计算、直观呈现问题方面的显著优势，为圆锥曲线的教与学提供有价值的参考，提升学生解决圆锥曲线问题的能力. 1运用两点间距离公式的几何意义解题例1 已知平面内动点满足方程，则动点 P 的轨迹方程为由题意可知点 P（x，y）到两个
方法与技巧 | 聚焦圆的双切线问题

方法与技巧 | 聚焦圆的双切线问题

近年高考数学试题以及模拟试题经常会出现关于圆的双切线问题，此类问题以初中学习过的圆和直角三角形为背景，同时综合高中数学中的解析几何、平面向量以及不等式等知识，能较好地考查学生的转化能力、逻辑推理能力以及数学运算能力.为助力学生理解、掌握此类问题的求解方法，现归类解析如下. 1根据对应四边形的图形特征解题如图1所示，经过圆 c 外的一点 P 可作圆 c 的两条切线 PA，PB ，其中切点为 A
方法与技巧 | 椭圆的定义在非解析几何问题中的应用

方法与技巧 | 椭圆的定义在非解析几何问题中的应用

对于有些非解析几何问题，如果运用椭圆的定义进行分析，有时可能会发现一种巧妙解法.本文结合具体例子谈谈椭圆的定义在非解析几何问题中的应用，希望对大家有所启发. 1解三角形问题当在解三角形问题中出现两边之和为定值时，可考虑运用椭圆的定义将其转化为解析几何问题. 例1已知 ΔABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ，若 b+2cosB+bcosA=6,a=2 ,则△ABC面积的最大值为
方法与技巧 | 圆锥曲线中非对称结构问题解法探究

方法与技巧 | 圆锥曲线中非对称结构问题解法探究

在圆锥曲线的复习备考中，学生会遇到复杂的非对称结构问题.这类问题的显著特征是 x1，x2 的系数、次数存在差异，或呈现出分式形式且分子、分母中变量的组合不对称.这些非对称结构使得常规的解题方法失效，学生在解题时往往会陷入困境，难以找到有效的解题路径，导致解题效果并不理想.因此，本文结合实际问题，深人剖析非对称结构问题的处理策略，旨在填补学生在解析几何知识领域的空白，使学生对直线与圆锥曲线位置关系的
方法与技巧 | 解析几何作为一种解决问题的新视角

方法与技巧 | 解析几何作为一种解决问题的新视角

解析几何具有数与形的双重属性，无论在代数问题中，还是在几何问题中，它都能提供一种审视与解决问题的新视角.本文探究解析几何在数列、不等式、解三角形问题中的应用. 1数列中的解析几何数列的图像是一群孤立的点，当这些点位于解析几何中的某个曲线上时，数列问题的解决往往离不开解析几何知识方法的应用，例1如图1所示，已知抛物线 C1：y=px2（ϕ≠ 0）与 C2：y=x2+2x+q 相交于 A1，
学科防疫站 | 解析几何中与直线相关的误区剖析

学科防疫站 | 解析几何中与直线相关的误区剖析

直线在高考中多与圆锥曲线综合考查，与直线相关的考点主要涉及直线的方程、斜率、倾斜角，以及直线所过的定点，直线与直线、直线与曲线的位置关系等.本文就这些问题处理中的误区进行剖析， 1遗漏直线斜率不存在的情况直线的倾斜角 θ∈[0,π] ，斜率当时，直线的斜率不存在，此时直线与 x 轴垂直.涉及与直线的斜率有关的问题时，要考虑斜率不存在的情况. 例1 已知椭圆 M 经过点和点(0，1
教与学 | 高中数学教学中“巧活动”设计与实施对学生核心素养培育的实证研究

教与学 | 高中数学教学中“巧活动”设计与实施对学生核心素养培育的实证研究

为破解传统高中数学教学中核心素养培育路径模糊、学生被动学习的困境，本研究基于认知心理学、课程知行力理论，如学习金字塔理论、艾宾浩斯遗忘规律、学习机制理论与课程实施理论等，构建“巧活动"教学模式，通过“晒题视频分享”“小组预习展示 + 合作探究”等活动案例，实证分析其对学生核心素养培养的影响.研究选取3个平行班（135人）开展实践，采用“量化指标 + 质性反馈"评估体系.结果显示：“巧活动"能显著

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